Das mathematische Prinzip
der Apfelmännchen-Fraktale

Zuerst bekommt das gesamte Bild eine Farbe zugeordnet (hier blau, es könnte aber auch jede andere Farbe sein). Dann wird ein Kreis definiert, und alle Punkte innerhalb des Kreises bekommen die zweite Farbe (hier braun). Der Kreis-Mittelpunkt hat die Koordinaten 0;0.

Nun werden (nach einer Formel) aus allen Bildpunkten im Kreis neue Koodinaten berechnet. Liegen diese auch noch innerhalb des Kreises, so bekommen die ursprünglichen Bildpunkte die dritte Farbe (hier rot) zugeordnet.

Mit den neu berechneten Koordinaten werden nun wiederum nach der selben Formel neue Koordinaten berechnet. Liegen diese immer noch innerhalb des Kreises, so bekommen die ursprünglichen Bildpunkte die dritte Farbe (hier violett) zugeordnet.

Dieses Spielchen wird mit vielen weiteren Farben fortgesetzt. Sind also bei einem Bildpunkt z.B. 78 Berechnungen nötig, bis das Resultat nicht mehr im Kreis lieg, so bekommt dieser Bildpunkt die Farbe Nummer 78.

Nach einigen hundert Berechnungen erhält man so immer feinere Details. Für unser Fraktal-Zoom Programm waren z.B. bis zu 20000 Berechnungen pro Bildpunkt nötig.

Verwendet man eine Farbpalette mit kleineren Abstufungen und vergrößert man das Bild ein wenig, dann sieht das ganze so aus. Den schwarzen Bereich bezeichnet man als Mandelbrot-Menge oder Apfelmännchen. Hier kann man unendlich oft rechnen, und das Resultat liegt immer innerhalb des Kreises. In den äußeren Bereichen liegt das Ergebnis dagegen schon nach wenigen Berechnungen außerhalb. Interessant ist der Grenzbereich, z.B. die Stelle, die wir hier weiß umrandet haben.

Dieses Bild zeigt eine Vergrößerung der weiß markierten Stelle. So kann man jeden beliebigen Bereich in jeder beliebigen Größe und Auflösung berechnen und immer wieder neue Strukturen entdecken.